Question

已知函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_k，a_k²）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_k+1（k∈N^*），a₁=1；數(shù)列{b_n}滿足：b₁=2，且對(duì)任意p，q∈N^*，都有b_p+b_q=b_p+q．
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件得到切線方程，再求出a_k+1與a_k的關(guān)系，并判斷其數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，即得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．令p=1，q=n則b₁+b_n=b_n+1，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由（1）知a_n•b_n，再用錯(cuò)位相減法來求前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（I）∵y'=2x，∴y-a_k²=2a_k（x-a_k）
，∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
∴（3分）
令p=1，q=n則b₁+b_n=b_n+1⇒b_n+1-b_n=2，即b_n=2+2（n-1）=2n（6分）
（II）
①
②
①-②得=
∴（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列定義，及數(shù)列求和中常用的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法是在數(shù)列求和中用的最為普遍．