Question

已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上．

（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，求的值；

（3）直線交橢圓于兩不同點(diǎn)，在軸的射影分別為，，若點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)在橢圓上．

 

Answer 1

【答案】

(1) ,;(2)-1;(3)詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程確定等量關(guān)系，求解拋物線方程；根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和右定點(diǎn)也在圓上，確定橢圓方程；（2）利用已知的向量關(guān)系式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出，然后通過(guò)直線與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)并求值;(3)借助向量問(wèn)題坐標(biāo)化和點(diǎn)在橢圓上，明確點(diǎn)S的坐標(biāo)，進(jìn)而證明其在橢圓上．

試題解析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)在圓上得：，

∴拋物線 .                           2分

同理由橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在

上可解得：．

得橢圓．                                             4分

（2）設(shè)直線的方程為，則．

聯(lián)立方程組，消去得：

且                            5分

由得：

整理得：

．                 8分

（3）設(shè)，則

由得；①  ；②

；③                                                 11分

由①+②+③得

∴滿足橢圓的方程，命題得證．                13分

考點(diǎn)：1.拋物線和橢圓的方程；（2）直線與拋物線的位置關(guān)系；（3）向量的坐標(biāo)運(yùn)算.