如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E是線段AB中點(diǎn)．
（1）證明：D1E⊥CE；
（2）求二面角D1-EC-D的大小的余弦值；
（3）求A點(diǎn)到平面CD1E的距離．
考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,二面角的平面角及求法
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明CE⊥面D1DE即可證明：D1E⊥CE；
（2）建立坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角D1-EC-D的大小的余弦值；
（3）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，即可求A點(diǎn)到平面CD1E的距離．
解答： 解：（1）證明：DD1⊥面ABCD，CE?面ABCD
所以，DD1⊥CE，
Rt△DAE中，AD=1，AE=1，
DE=
AD2+AE2
=
2
，
同理：CE=
2
，又CD=2，CD2=CE2+DE2，
DE⊥CE，
DE∩CE=E，
所以，CE⊥面D1DE，
又D1E?面D1EC，
所以，D1E⊥CE．
（2）設(shè)平面CD1E的法向量為
m
=（x，y，z），
由（1）得
D1E
=（1，1，-1），
CE
=（1，-1，0）
m
•
D1E
=x+y-1=0，
m
•
CE
=x-y=0
解得：x=y=
1
2
，即
m
=（
1
2
，
1
2
，1）；
又平面CDE的法向量為
DD1
=（0，0，1），
∴cos＜
m
，
DD1
＞=
m
•
DD1
|
m
|•|
DD1
|
=
1
1
4
+
1
4
+1
•1
=
6
3
，
所以，二面角D1-EC-D的余弦值為
6
3
，
（3））由（1）（2）知
AE
=（0，1，0），平面CD1E的法向量為
m
=（
1
2
，
1
2
，1）
故，A點(diǎn)到平面CD1E的距離為d=
|
m
•
AE
|
|
m
|
=
1
2
6
2
=
6
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面垂直的性質(zhì)，以及空間二面角和點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（　�。�
A、πB、2πC、4πD、8π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有A、B、C三批種子，發(fā)芽率分別為0.5，0.6，0.7．這三批種子中各取一粒．
（1）求3粒種子都發(fā)芽的概率；
（2）求恰有1粒種子不發(fā)芽的概率；
（3）設(shè)X表示取得的三粒種子中發(fā)芽種子的粒數(shù)與不發(fā)芽種子的粒數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的分布列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，
3
2
）且e=
3
2
，
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的方程；
（3）設(shè)直線l與圓C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B1，當(dāng)R為何值時(shí)，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=
2
5
，且對(duì)任意n∈N*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

（Ⅰ）求證：數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）令bn=
2
3
（
1
an
+5），求數(shù)列{
bn
3n
}前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC中∠B=30°，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB與平面ABC所成角為45°，AH⊥PC，垂足為H．求二面角A-PB-C的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B分別是橢圓：
x2
4
+y2=1的左、右頂點(diǎn)，P（2，t）（t∈R，且t≠0）為直線x=2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P任意引一直線l與橢圓交于C、D，連結(jié)PO，直線PO分別和AC、AD連線交于E、F．
（1）當(dāng)直線l恰好經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，求t的值；
（2）若t=-1，記直線AC、AD的斜率分別為k1，k2，求證：
1
k1
+
1
k2
定值；
（3）求證：四邊形AFBE為平行四邊形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，g（x）=（a2+
25
4
）ex，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜
25
4
成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=f（x+2k）（k∈Z）及f（-x）=-f（x），且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=
2x
4x+1
．
（1）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（2）求證：f（x）在x∈（0，1）上是減函數(shù)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案