（2013•湖北）設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（參考數(shù)據(jù)：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．
分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最小值為f（0）=0；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令x=
1
n
代入并化簡(jiǎn)得nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
，再令x=-
1
n
得，nr＞
nr+1-(n-1)r+1
r+1
，即結(jié)論得到證明；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，令r=
1
3
，n分別取值81，82，83，…，125，分別列出不等式，再將各式相加得，
3
4
(125
4
3
-80
4
3
)＜S＜
3
4
(126
4
3
-81
4
3
)，再由參考數(shù)據(jù)和條件進(jìn)行求解．
解答：解；（Ⅰ）由題意得f'（x）=（r+1）（1+x）r-（r+1）=（r+1）[（1+x）r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）在x=0處，取得最小值為f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立，
故當(dāng)x＞-1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令x=
1
n
（這時(shí)x＞-1且x≠0），得(1+
1
n
)r+1＞1+
r+1
n
．
上式兩邊同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
即nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
，②
當(dāng)n＞1時(shí)，在①中令x=-
1
n
（這時(shí)x＞-1且x≠0），
類似可得nr＞
nr+1-(n-1)r+1
r+1
，③
且當(dāng)n=1時(shí)，③也成立．
綜合②，③得
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
，④
（Ⅲ）在④中，令r=
1
3
，n分別取值81，82，83，…，125，
得
3
4
(81
4
3
-80
4
3
)＜
381
＜
3
4
(82
4
3
-81
4
3
)，
3
4
(82
4
3
-81
4
3
)＜
382
＜
3
4
(83
4
3
-82
4
3
)，
3
4
(83
4
3
-82
4
3
)＜
383
＜
3
4
(84
4
3
-83
4
3
)，…
3
4
(125
4
3
-124
4
3
)＜
3125
＜
3
4
(126
4
3
-125
4
3
)，
將以上各式相加，并整理得
3
4
(125
4
3
-80
4
3
)＜S＜
3
4
(126
4
3
-81
4
3
)．
代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可得
3
4
(125
4
3
-80
4
3
)≈210.2，
3
4
(126
4
3
-81
4
3
)≈210.9
由[S]的定義，得[S]=211．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求最值，以及學(xué)生的創(chuàng)新精神，是否會(huì)觀察，會(huì)抽象概括，會(huì)用類比的方法得出其它結(jié)論，難度較大，注意利用上一問(wèn)的結(jié)論．
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相關(guān)習(xí)題

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（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足
DQ
=
1
2
CP
．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E-l-C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖北）設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=
14
，則x+y+z=
3
14
7
3
14
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖北）i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若z1=2-3i，則z2=
-2+3i
-2+3i
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖北）設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=
ax+b
x+1
．
（Ⅰ）當(dāng)a≠b時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，稱f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（
b
a
），f（
b
a
）是否成等比數(shù)列，并證明f（
b
a
）≤f（
b
a
）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱
2ab
a+b
為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

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