定義函數(shù)其導函數(shù)記為．

(1)求證：fn(x)≥nx；

(2)設(shè)，求證：0＜x0＜1；

(3)是否存在區(qū)間使函數(shù)h(x)＝f3(x)－f2(x)在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相應的區(qū)間[a，b]．

答案：
解析：

　　(1)∵，令

　　則

　　當時，當時，

　　∴在上遞減，在上遞增

　　故在處取得極(最)小值

　　∴，即(當且僅當時取等號)　　　　4分;

　　(2)由，得

　　∴，，易知，　　　　6分

　　而

　　由(1)知當時，，故

　　∴，∴　　　　　　　　　　　9分;

　　(3)

　　

　　

　　令，得或，

　　∴當時，；

　　當時，；

　　當時，，

　　故的圖象如圖所示．

　　下面考查直線與的相交問題

　　由圖可知直線與存在交點，且滿足在區(qū)間上的值域為

　　∵在上，為圖象的極小值點

　　∴過作直線與的圖象交于另一點，當直線繞原點順時鐘旋轉(zhuǎn)至點時，滿足條件的取最小值，即的最小值為，相應區(qū)間為．　　　　　　　　　　　　　　　14分


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年福建省高三第八次月考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

定義函數(shù)其導函數(shù)記為.

(Ⅰ)求的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若，求證：；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，數(shù)列前項和為, ，其中.對于給定的正整數(shù)，數(shù)列滿足，且，求.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

定義函數(shù)數(shù)學公式其導函數(shù)記為數(shù)學公式．
（Ⅰ）求y=fn（x）-nx的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若數(shù)學公式，求證：0＜x0＜1；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)φ（x）=f3（x）-f2（x），數(shù)列{ak}前k項和為Sk，2kSk=φ（k-1）+2kak，其中a1=1．對于給定的正整數(shù)n（n≥2），數(shù)列{bn}滿足ak+1bk+1=（k-n）bk（k=1，2…，n-1），且b1=1，求b1+b2+…+bn．

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科目：高中數(shù)學 來源：福建省龍巖一中2011-2012學年高三下學期第八次月考試卷數(shù)學（理） 題型：解答題

 

定義函數(shù)其導函數(shù)記為.

(Ⅰ)求的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若，求證：；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，數(shù)列前項和為, ，其中.對于給定的正整數(shù)，數(shù)列滿足，且，求.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：天津市十校2010屆高三第一次聯(lián)考（理） 題型：解答題

 

 定義函數(shù)其導函數(shù)記為.

（1）   求證：；

（2）   設(shè)，求證： ；

（3）   是否存在區(qū)間使函數(shù)在區(qū)間上的值域為？ 若存在，求出最小的值及相應的區(qū)間.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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