Question

(2006江西，21)如圖所示，橢圓(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c，0)，過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程；

(2)若在Q的方程中，令，．確定θ的值，使原點(diǎn)距橢圓Q的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)．此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABD的面積最大?

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設(shè)橢圓上的點(diǎn)、，又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)， 則 (i)當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，， 由①－②得 ． ∴， ∴　　（*） (ii)當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（*）， 故所求點(diǎn)P的軌跡H的方程為． (2)因?yàn)闄E圓Q右準(zhǔn)線l方程是，原點(diǎn)距橢圓Q的右準(zhǔn)線l的距離為，由于，，． 則． 當(dāng)時(shí)，上式達(dá)到最大值，所以當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)距橢圓Q的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)．此時(shí)，，c=1，D(2，0)，|DF|=1． 設(shè)橢圓上的點(diǎn)、， △ABD面積． 設(shè)直線m的方程為x=ky＋1，代入中， 得． 由韋達(dá)定理得， ，， 令，得，當(dāng)t=1，即k=0時(shí)取等號(hào)． 因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大．