Question

如圖，已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右準(zhǔn)線l₁與一條漸近線l₂交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求證：

OM

⊥

MF

；
（II）若|

MF

|=1且雙曲線C的離心率e=

6

2

，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線l₃過點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足

AP

=λ

AQ

，試判斷λ的范圍，并用代數(shù)方法給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得點(diǎn)M（

a2

c

，

ab

c

），F(xiàn)（c，0），

MF

=（

b2

c

，-

ab

c

），計算

OM

•

MF

=0即可；
（Ⅱ）由e=

6

2

，可得a²=2b²，又|

MF

|=1，可求得雙曲線C的方程為：

x2

2

-y2=1；
（Ⅲ）設(shè)l₃：y=kx+1，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2-2y2=2 y=kx+1

聯(lián)立得（1-2k²）x²-4kx+4=0，結(jié)合l₃與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q，列關(guān)系式可求得-1＜k＜-

2

2

，再結(jié)合

AP

=λ

AQ

，即可求得λ的取值范圍．

解答：證明：（I）∵右準(zhǔn)線l1：x=

a2

c

，漸近線l2：y=

b

a

x，
∴M(

a2

c

，

ab

c

)，
∵F（c，0），c²=a²+b²，
∴

OM

=(

a2

c

，

ab

c

)，

MF

=(c-

a2

c

，-

ab

c

)=(

b2

c

，-

ab

c

)，
∵

OM

•

MF

=

a2b2

c2

-

a2b2

c2

=0，
∴

OM

⊥

MF

…（3分）
（II）∵e=

6

2

，
∴

b

a

=

e2-1

=

2

2

，
∴a²=2b²，
∵|

MF

|=1，
∴

b4

c2

+

a2b2

c2

=1，
∴

b2(b2+a2)

c2

=1
∴雙曲線C的方程為：

x2

2

-y2=1…（7分）
（III）由題意可得0＜λ＜1…（8分）
證明：設(shè)l₃：y=kx+1，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

x2-2y2=2 y=kx+1

得（1-2k²）x²-4kx+4=0∵l₃與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q
∴

1-2k2≠0 △=16k2+16(1-2k2)＞0 x1+x2= 4k 1-2k2 ＞0 x1x2=- 4 1-2k2 ＞0

  ∴

k≠± 2 2 k2＜1 k＜0 1-2k2＜0

，
∴-1＜k＜-

2

2

…（11分）
∵

AP

=λ

AQ

，
∴（x₁，y₁-1）=λ（x₂，y₂-1），得x₁=λx₂

∴(1+λ)x2= 4k 1-2k2 ，λ x 2 2 =- 4 1-2k2 ∴ (1+λ)2 λ = 16k2 -4(1-2k2) = 4k2 2k2-1 =2+ 2 2k2-1

∵-1＜k＜-

2

2

，
∴0＜2k²-1＜1，
∴

(1+λ)2

λ

＞4，
∴（1+λ）²＞4λ，
∴λ²-2λ+1＞0
∴λ的取值范圍是（0，1）…（13分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，難點(diǎn)在于（Ⅲ）λ的范圍的求解，方程思想與轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于較難的題．