Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R）． （Ⅰ）若曲線f（x）在x=l處的切線與x軸不平行，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，f′（x）= ， f′（1）=0，且曲線f（x）在x=1處的切線方程為y= ，
∵切線與x軸不平行，故切線與x軸重合，∴ ，即a=﹣1；
（Ⅱ）f′（x）= ，
設(shè)h（x）= ，則h′（x）=﹣2x+（2﹣a）+ ．
h′（x）在（0，1]上是減函數(shù)，從而h′（x）＞h′（1）=2﹣a．
①當(dāng)2﹣a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)．
∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴f（x）在（0，1]上是減函數(shù)．
∴a≤2滿足題意；
②當(dāng)2﹣a＜0，即a＞2時，設(shè)函數(shù)h′（x）的唯一零點為x1 ，
則h（x）在（0，x1）上遞增，在（x1 ， 1）上遞減．
又∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x1）＞0．
又∵h(yuǎn)（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a﹣ea＜0，
∴h（x）在（0，1）內(nèi)由唯一一個零點x′，
當(dāng)x∈（0，x′）時，h（x）＜0，當(dāng)x∈（x′，1）時，h（x）＞0．
從而f（x）在（0，x′）上遞減，在（x′，1）上遞增，與在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)矛盾．
∴a＞2不合題意．
綜上，a的最大值為2．
【解析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得f′（1）=0，得到曲線f（x）在x=1處的切線方程為y= ，結(jié)合切線與x軸不平行，可得 ，從而求得a值；（Ⅱ）由f′（x）= ，設(shè)h（x）= ，求出h′（x），可知h′（x）在（0，1]上是減函數(shù)，從而h′（x）＞h′（1）=2﹣a． 然后分當(dāng)2﹣a≥0，和2﹣a＜0分類研究函數(shù)的單調(diào)性得答案．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．