【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC1∥平面CDB1
(2)求證:AC⊥BC1
(3)求直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值.
【答案】
(1)解:如圖:
設(shè)BC1∩B1C=O,則O為BC1的中點(diǎn),連接OD,
∵D為AB的中點(diǎn),∴OD∥AC1,
又∵OD平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(2)解:∵AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又∵C1C∥AA1,AA1⊥底面ABC,∴C1C⊥底面ABC,∴AC⊥CC1.
又BC∩CC1=C,∴AC⊥平面BCC1B1.
而BC1平面BCC1B1,∴AC⊥BC1.
(3)解:由(2)得AC⊥平面B1BCC1,
∴直線B1C是斜線AB1在平面B1BCC1上的射影,
∴∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成的角,
在RT△AB1C中,B1C=4 ,AC=3,
∴tan∠AB1C= = ,
直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值為 .
【解析】(1)設(shè)BC1∩B1C=O,由三角形的中位線性質(zhì)可得OD∥AC1 , 從而利用線面平行的判定定理證明AC1∥平面CDB1 , (2)利用勾股定理證明AC⊥BC,證明C1C⊥底面ABC,可得AC⊥CC1 , 由線面垂直的判定定理證得AC⊥平面BCC1B1 , 從而證得AC⊥BC1 . (3)得到∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成的角,解三角形即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點(diǎn),以及對直線與平面平行的判定的理解,了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|=3,則△AOB的面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x>0時,f(x)=lnx,則函數(shù)g(x)=f(x)﹣sin4x的零點(diǎn)的個數(shù)為 .
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【題目】已知向量 =(cosx,sinx), =( sinx,sinx),x∈R設(shè)函數(shù)f(x)= ﹣
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在[0, ]上的最大值和最小值.
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【題目】已知長為2的線段AB中點(diǎn)為C,當(dāng)線段AB的兩個端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上運(yùn)動時,C點(diǎn)的軌跡為曲線C1;
(1)求曲線C1的方程;
(2)直線 ax+by=1與曲線C1相交于C、D兩點(diǎn)(a,b是實(shí)數(shù)),且△COD是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:過點(diǎn)有三條直線與曲線相切;
(Ⅱ)當(dāng)時, ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】某公司欲制作容積為16米3 , 高為1米的無蓋長方體容器,已知該容器的底面造價是每平方米1000元,側(cè)面造價是每平方米500元,記該容器底面一邊的長為x米,容器的總造價為y元.
(1)試用x表示y;
(2)求y的最小值及此時該容器的底面邊長.
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