Question

已知圓C：，點，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交CQ于點M，設(shè)點M的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為直線x=4上不同于點（4，0）的任意一點，D，F(xiàn)分別為曲線E與x軸的左，右兩交點，若直線DP與曲線E相交于異于D的點N，證明△NPF為鈍角三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得
∴軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓…（2分）
∴軌跡E的方程為…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知D（-2，0），F(xiàn)（2，0），設(shè)P（4，t）（t≠0），N（x_N，y_N）
則直線DP的方程為…（6分）
由得（9+t²）x²+4t²x+4t²-36=0
∵直線DP與橢圓相交于異于D的點N
∴，∴
由得…（8分）
∴
∴…（10分）
又N，F(xiàn)，P三點不共線，∴∠NFP為鈍角，
∴△NFP為鈍角三角形…（12分）
分析：（Ⅰ）先根據(jù)橢圓的定義，確定軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，再寫出橢圓的方程；
（Ⅱ）直線DP的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定N的坐標(biāo)，求出，利用其數(shù)量積小于0，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．