Question

（甲）已知圓C的方程是x²+（y-1）²=5，直線l的方程是mx-y+1-m=0
（1）求證：對于任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個交點
（2）設直線l與圓C交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線l的方程可得直線經(jīng)過定點H（1，1），而點H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，
故點H在圓的內部，故直線l與圓C相交，命題得證．
（2）設AB中點M（x，y），當AB斜率存在時，由K_AB•K_CM=-1，可得 

y-1

x-1

•

y-1

x-0

=-1，化簡可得AB中點M的軌跡方程；當AB的斜率不存在時，點M的坐標也滿足此軌跡方程，從而得出結論．

解答：解：（1）由于直線l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），經(jīng)過定點H（1，1），
而點H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑

5

，故點H在圓的內部，故直線l與圓C相交，
故直線和圓恒有兩個交點．
（2）設AB中點M（x，y），當AB的斜率存在時，由題意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
再由 K_AB=K_MH=

y-1

x-1

，K_CM=

y-1

x-0

，∴

y-1

x-1

•

y-1

x-0

=-1，化簡可得(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

，
即AB中點M的軌跡方程為 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
當AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=1，此時AB的中點M的坐標為（1，1），
也滿足 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
綜上可得，AB中點M的軌跡方程為 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的判定，直線過定點問題，求點的軌跡方程，屬于中檔題．