Question

如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β（0＜β＜α＜π），它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

4

5

，

3

5

)．
（1）求

sin2α-1-cos2α

(1-tanα)cosα

的值；
（2）若PQ=

2

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由三角函數(shù)的定義，再化簡函數(shù)，即可得出結(jié)論；
（2）利用sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由三角函數(shù)的定義得cosα=-

4

5

，sinα=

3

5

，…（2分）
則原式=

2sinαcosα-2cos2α

(1- sinα cosα )cosα

=

2cosα(sinα-cosα)

cosα-sinα

=-2cosα=-2×(-

4

5

)=

8

5

．…（6分）
（2）∵PQ=

2

，∴OP⊥OQ⇒α-β=

π

2

，
∴β=α-

π

2

，…（8分）
∴sinβ=sin(α-

π

2

)=-cosα=

4

5

，cosβ=cos(α-

π

2

)=sinα=

3

5

．…（10分）
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

3

5

×

3

5

+(-

4

5

)×

4

5

=-

7

25

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的定義，考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．