Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)
（1）若曲線C：y=f（x）在點P（0，1）處的切線L與C有且只有一個公共點，求m的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）存在單調(diào)減區(qū)間[a，b]，令t=b-a，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求切線方程為y=-x+1，再由切線L與C有且只有一個公共點，轉(zhuǎn)化為

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一個實數(shù)解，從而的解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)減，得mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1），通過研究不等式的解集，從而可證，t的取值范圍利用基本不等式可解．

解答：解：（1）易知f（x）定義域（-1，+∞）f/(x)=mx-2+

1

x+1

，f/(0)=-1，∴k₂=-1∴切線L：y=-x+1
∵切線L與C有且只有一個公共點，∴

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一個實數(shù)解，顯然x=0時成立．
令g(x)=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，則g/(x)=mx-1+

1

x+1

=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

①當m=1時，g′（x）≥0，函數(shù)在（-1，+∞）上單調(diào)增，x=0是方程唯一實數(shù)解；
②當m＞1時由g′（x）=0得x1=0，x2=

1

m

-1∈(-1，0），從而有x=x₂是極大值點且g（x₂）＞g（0）=0，又當x→-1時，g（x）→-∝因此g（x）=0在（-1，x₂）內(nèi)也有一解，矛盾
綜上知，m=1．
（2）∵f/(x)=

mx2+(m-2)x-1

x+1

(x＞-1)∴f′（x）＜0?mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1）
令h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1），∴h（x）=0在（-1，+∞）有兩個不等實數(shù)解a，b，即h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1）得解集為（a，b），故存在單調(diào)減區(qū)間[a，b]，
則t=b-a=

1+ 4 m2

，
∵m≥1，∴1＜

1+ 4 m2

≤

5

，
∴t∈(1，

5

]

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．