Question

已知函數(shù)f （x）=2x³-3（2+a²）x²+6（1+a²）x+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f （x）在R上單調(diào)，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f （x）在區(qū)間[0，2]上的最大值是5，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)的導數(shù)，再由函數(shù)f （x）在R上單調(diào)知其導數(shù)恒為非負值，從而方程（x-1）（x-1-a²）=0的根相等，即可求得a的值；
（II）由（I）知函數(shù)f （x）在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，1+a²]上是減函數(shù)，在區(qū)間[1+a²，2]上是增函數(shù)，故函數(shù)f （x）在區(qū)間[0，2]上的最大值是f（1），f（2）中的較大者，從而得到一個不等式求得a的取值范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x²-6（2+a²）x+6（1+a²）
=6（x-1）（x-1-a²），
因為函數(shù)f（x）在R上單調(diào)，
所以1=1+a²，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因為1≤1+a²，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a²+3，5}max=5，
即3a²+3≤5，
解此不等式，得
-≤a≤，
所以a的取值范圍是-≤a≤．（15分）
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值等基本性質(zhì)、導數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括能力和運算求解能力．