Question

班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班25名女同學(xué)，15名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析.

（Ⅰ）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（只要求寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）.

（Ⅱ）隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分?jǐn)?shù)從小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.

若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；

（2）若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95

 根據(jù)上表數(shù)據(jù)用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點(diǎn)圖說明物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間是否具有線性相關(guān)性？如果具有線性相關(guān)性，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)性，請(qǐng)說明理由.

    參考公式：相關(guān)系數(shù)

    回歸直線的方程是：，

    其中對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值.

參考數(shù)據(jù)：

 

Answer 1

【答案】

（I）應(yīng)選女生25×=5（個(gè)），男生15×=3（個(gè)），可以得到不同的樣本個(gè)數(shù)是.

（II）（1）;（2）y與x的回歸方程是.

【解析】本題考查線性回歸分析的初步應(yīng)用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)比較好的綜合題目．

（1）從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析，做出女生和男生在總?cè)藬?shù)中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結(jié)果．

（2）①這是一個(gè)條件概率，在良好的條件下，兩科均為優(yōu)秀，根據(jù)等可能事件的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率做出一個(gè)學(xué)生兩科都良好的概率，和兩科都優(yōu)秀的概率，利用條件概率公式得到結(jié)果．

②首先求出兩個(gè)變量的平均數(shù)，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，把做出的系數(shù)和x，y的平均數(shù)代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結(jié)果．

解:（I）應(yīng)選女生25×=5（個(gè)），男生15×=3（個(gè)），可以得到不同的樣本個(gè)數(shù)是.

（II）（1）這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀，則需要先從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選出3個(gè)與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，種數(shù)是，然后剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，種數(shù)是。根據(jù)乘法原理滿足條件的種數(shù)是

 這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有.

 故所求的概率

（2）變量y與x的相關(guān)系數(shù)是r=.可以看出，物理與數(shù)學(xué)成績是高度正相關(guān).若以數(shù)學(xué)成績x為橫坐標(biāo)，物理成績y為縱坐標(biāo)做散點(diǎn)圖

從散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)大至分布在一條直線附近，并且在逐步上升，

故物理與數(shù)學(xué)成績是高度正相關(guān).

 設(shè)y與x線性回歸方程y=bx+a、

根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出

=0.65，a=85－0.65×77.5=34.63，

 所以y與x的回歸方程是.