如圖所示，平面內(nèi)有向量=(1，7)，=?(5，1)，=(2，1)，點(diǎn)M為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)M滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí)，求∠AMB的值.

思路分析：因?yàn)辄c(diǎn)M在直線OP上，向量與共線，可以得到關(guān)于OM坐標(biāo)的一個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)的最小值，求得，而cos∠AMB是向量與夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識(shí)容易解決.

解：(1)設(shè)=(x，y)，∵點(diǎn)M在直線OP上，

∴向量與共線.

又=(2，1)，

∴x·1－y·2=0,即x=2y.∴=(2y，y).

又，=(1，7)，

∴=(1－2y，7－y).

同理=(5－2y，1－y).

于是=(1－2y)(5－2y)+(7－y)(1－y)=4y2－12y+5+y2－8y+7=5y2－20y+12.

由二次函數(shù)的知識(shí)，可知當(dāng)時(shí)，有最小值－8，此時(shí)=?(4，2).

(2)當(dāng)=(4，2)，即y=2時(shí)，有=(－3，5)，=(1，－1)，||=34，||=2，

=(－3)×1+5×(－1)=－8，

∴cos∠AMB=，

即∠AMB=arccos().

深化升華 對(duì)于向量與最值有關(guān)的問題，往往是先選取適當(dāng)?shù)淖兞�，建立關(guān)于取定變量的目標(biāo)關(guān)系式(或函數(shù)關(guān)系式)，通過求最值的基本方法求解.如轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，或三角函數(shù)問題等.也可以利用向量的幾何意義求最值.在求向量的夾角時(shí)，要注意兩個(gè)向量的方向性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）過一點(diǎn)向平面引垂線，________叫做這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影；當(dāng)這一點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，該點(diǎn)在平面上的射影就是它______；這一點(diǎn)與_______的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的_______.如圖所示，直線PQ⊥α,Q∈α,則點(diǎn)Q是______在平面α內(nèi)的_____，線段_______是點(diǎn)_______到平面α的______.?

（2）一條直線和一個(gè)平面相交，但不______時(shí)，這條直線就叫做這個(gè)平面的_______，斜線與平面的交點(diǎn)叫做_____.從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與________間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的_______.如圖所示，直線PR∩α=R,PR不______于α,直線PR是α的一條_____，點(diǎn)R為_______，線段_____是點(diǎn)P到α的______.?

（3）平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段______條，而這點(diǎn)到這個(gè)平面的______有無(wú)數(shù)條.?

（4）從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的_______，________與________間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的________.如圖所示，直線_____是直線PR在平面α上的______，線段______是點(diǎn)P到平面α的斜線段PR在平面α上的射影.?

（5）斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的_____上.事實(shí)上，設(shè)a是平面α的斜線，B為斜足，在a上任取一點(diǎn)A，作AA1⊥α,A1是垂足，則A1、B確定的直線a′是a在平面α內(nèi)的______，如圖所示，設(shè)P是a上任意一點(diǎn)，在a和AA1確定的平面內(nèi)，作PP1∥AA1,PP1必與a′相交于一點(diǎn)P1.∵AA1α__________ ,PP1______________AA1，∴PP1__________α.P1為P在平面α上的射影，所以點(diǎn)P在平面α上的射影一定在直線a在平面α上的射影a′上.

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