Question

（2012•唐山二模）在△ABC中，三邊對(duì)應(yīng)的向量滿足（

AB

-3

AC

)⊥

CB

⊥

CB

，則角A的最大值為

π

6

．

Answer 1

分析：由題意可得 (

AB

-3

AC

)•

CB

=0，化簡(jiǎn)得ac•cosB-3ab•cos（π-C）=0，再利用正弦定理求得tanC=-3tanB，判斷A為銳角，故 tanA＞0，利用基本不等式求得tanA≤

3

3

，由此求得A的最大值．

解答：解：在△ABC中，（

AB

-3

AC

)⊥

CB

⊥

CB

，∴(

AB

-3

AC

)•

CB

=0．
即

AB

•

CB

-3

AC

•

CB

=0，即ac•cosB-3ab•cos（π-C）=0．
化簡(jiǎn)可得

b

c

=-

1

3

cosB

cosC

，∴

sinB

sinC

=-

1

3

cosB

cosC

，解得tanC=-3tanB，
故tanC與tanB符號(hào)相反，故 B或C中有一個(gè)為鈍角，故A為銳角，故 tanA＞0．
∴tanA=-tan（B+C）=

tanB+tanC

tanB•tanC-1

=

2tanB

1+3tan2B

=

2

1 tanB +3tanB

＞0，
故有tanB＞0，再由基本不等式可得

2

1 tanB +3tanB

≤

3

3

，即tanA≤

3

3

，故A的最大值為

π

6

，
故答案為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，正弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．