Question

已知：f（x）=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1（x∈R）．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）若x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式，平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)y=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1，為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后直接求出最小正周期；
（II）將2x+

π

3

看成整體在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上單調(diào)遞增，然后求出x的取值范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（III）根據(jù)x∈[-

π

4

，

π

4

]，求出2x+

π

3

的范圍，從而求出sin（2x+

π

3

）的取值范圍，從而求出f（x）的值域．

解答：解：f（x）=sin2x+

3

（2cos²x-1）+1
=sin2x+

3

cos2x+1
=2sin（2x+

π

3

）+1---------------------------------------（4分）
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π------------------（5分）
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

5π

6

≤2x≤2kπ+

π

6

∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z-----------------（9分）
（Ⅲ）因為x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，∴f（x）∈[0，3]．-----------------------------------（13分）

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，此類題目的解答，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度，是基礎(chǔ)題．