Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+mx-m．
（1）若函數(shù)f（x）的值域是（-∞，0]，求實數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的值域是（-∞，0]，即二次函數(shù)f（x）有且只有一個值y=0，得△=0，求出m的取值．
（2）由f（x）圖象的性質(zhì)得[-1，0]在對稱軸x=

m

2

右側(cè)時，f（x）單調(diào)遞減，從而得出m的取值范圍．
（3）討論f（x）的對稱軸x=

m

2

是在[2，3]的左側(cè)時，在[2，3]的右側(cè)時，以及在[2，3]上時，求出滿足條件的m的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=-x²+mx-m，值域是（-∞，0]，
且二次函數(shù)f（x）圖象是拋物線，開口向下，
∴f（x）有且只有一個值y=0，
即△=m²-4m=0，
解得m=0，或m=4；
∴m的值為0或4．
（2）函數(shù)f（x）=-x²+mx-m圖象是拋物線，開口向下，對稱軸是x=

m

2

；要使f（x）在[-1，0]上是單調(diào)遞減的，應(yīng)滿足

m

2

≤-1，∴m≤-2；
∴m的取值范圍是{m|m≤-2}．
（3）當(dāng)

m

2

≤2，即m≤4時，f（x）在[2，3]上是減函數(shù)，
若存在實數(shù)m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，
則有

f(2)=3 f(3)=2

，即

-4+2m-m=3 -9+3m-m=2

，解得m不存在；
當(dāng)

m

2

≥3，即m≥6時，f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，
則有

f(2)=2 f(3)=3

，即

-4+2m-m=2 -9+3m-m=3

，解得m=6；
當(dāng)2＜

m

2

＜3，即4＜m＜6時，f（x）在[2，3]上先增后減，所以f（x）在x=

m

2

處取最大值；
∴f（

m

2

）=-(

m

2

)2+m•（-

m

2

）-m=3，
解得m=-2或6（不滿足條件，舍去）；
∴綜上，存在實數(shù)m=6，使f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]．

點評：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性與值域問題，討論對稱軸與區(qū)間的位置，得出結(jié)論．