Question

【必做題】解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
某射擊運(yùn)動(dòng)員向一目標(biāo)射擊，該目標(biāo)分為3個(gè)不同部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6．擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．
（1）若射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為

1

3

且相互獨(dú)立．設(shè)ξ表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（2）若射擊2次均擊中目標(biāo)，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）依題意知ξ～B（4，

1

3

），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
（2）設(shè)A_i表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2，B_i表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2．A=A1

.

B1

∪

.

A1

B1∪A₁B₁∪A₂B₂，由此能求出事件A發(fā)生的概率．

解答：解：（1）依題意知ξ～B（4，

1

3

），ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．（或Eξ=np=

4

3

）．…5分
（2）設(shè)A_i表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2，
B_i表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2．
依題意，知P（A₁）=P（B₁）=0.1，P（A₂）=P（B₂）=0.3，
A=A1

.

B1

∪

.

A1

B1∪A₁B₁∪A₂B₂，…7分
所求的概率為
P（A）=P（A1

.

B1

）+P（

.

A1

B1）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂）
=P（A₁）P（

.

B1

）+P（

.

A1

）P（B₁）+P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）
=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3
=0.28．
答：事件A發(fā)生的概率為0.28．…10分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和分布列的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．