Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x-3
（1）求函數(shù)y=f（|x|）的值域并寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)y=|f（x）|與y=m+1交點的個數(shù)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)y=f（|x|）的值域并寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）作出兩個函數(shù)的圖象即可討論函數(shù)y=|f（x）|與y=m+1交點的個數(shù)．

解答： 解：（1）當x≥0時，f（|x|）=f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4
函數(shù)的對稱軸方程為x=-1，故函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)    （2分），
∴f（|x|）≥f（0）=-3，
∵f（|-x|）=f（|x|），
∴y=f（|x|）為偶函數(shù)
函數(shù)f（|x|）的值域為[-3，+∞）（4分）
函數(shù)f（|x|）在（-∞，0]單調(diào)遞減，在[0，+∞）上為增函數(shù)   如圖（1）（6分）
（2）分別畫出函數(shù)y=f（|x|），y=m+1圖象，由圖象觀察可得圖（2）
當m＜-1時，它們無交點，故交點個數(shù)為0個；             （8分）
當m=-1或m＞3時，它們有兩個交點，故交點個數(shù)為2個；  （10分）
當-1＜m＜3時，它們有四個交點，故交點個數(shù)為4個    （12分）
當m=3時它們有三個交點，故交點個數(shù)為3            （14分）

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．