Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導函數(shù)在[1，2]上小于等于0應該恒成立，再結合二次函數(shù)的性質可求得a的范圍．
（III）先假設存在，然后對函數(shù)g（x）進行求導，再對a的值分情況討論函數(shù)g（x）在（0，e]上的單調性和最小值取得，可知當a=e²能夠保證當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
解答：解：（I）a=0時，曲線y=f（x）=x²-lnx，
∴f′（x）=2x-，∴g′（1）=1，又f（1）=1
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x-y=0．
（II） 在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有 得 ，
得
（II）假設存在實數(shù)a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=
①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，（舍去），
②當 時，g（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增
∴，a=e²，滿足條件．
③當 時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，（舍去），
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
點評：本題主要考查導數(shù)的運算和函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系，當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．