Question

過雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P，與圓x²+y²=a²恰好切于線段FP的中點(diǎn)，則直線l的斜率為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F₁，原點(diǎn)為O，線段FP的中點(diǎn)為M，由中位線的知識可知|PF₁|=2|OM|=2a，由雙曲線的定義可得：|PF|-|PF₁|=2a，進(jìn)而可得|PF|=4a，在直角三角形PFF₁中可得∠PFF₁的正切值，即為所求．
解答：解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F₁，原點(diǎn)為O，線段FP的中點(diǎn)為M，
則OM為△PFF₁的中位線，|PF₁|=2|OM|=2a，
由雙曲線的定義可知：|PF|-|PF₁|=2a，
所以|PF|=4a，因?yàn)镺M⊥PF，所以PF₁⊥PF，
所以tan∠PFF₁==，即直線l的斜率為
故答案為：
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，涉及直線的斜率的求解，屬中檔題．