Question

如圖，有兩條相交直線l₁，l₂成60°角，交于點(diǎn)O，甲乙兩人分別在l₁，l₂上．起初甲離O點(diǎn)3千米，乙離O點(diǎn)1千米；后來(lái)甲乙兩人分別沿著箭頭所示方向前進(jìn)，同時(shí)用4千米/時(shí)的速度步行．
（1）經(jīng)過多少小時(shí)，兩人的距離最短？
（2）若兩人為了保持通訊，兩人之間的距離不能超過千米，那么他們兩人在行進(jìn)中能保持通訊的時(shí)間為多少小時(shí)？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t小時(shí)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為4tkm，表示出此時(shí)的OA和OB，再由cos∠AOB的值，利用余弦定理表示出AB的長(zhǎng)，根據(jù)t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出兩人距離最短時(shí)的時(shí)間t的值．
（2）由（1）值，再開始到0.25小時(shí)內(nèi)兩人之間的距離不能超過千米，之后則不滿足題意，故得解．
解答：解：由題意，（1）當(dāng)0≤t＜0.25 時(shí)，A在O的右邊，則t小時(shí)走的路為4t，OA=3-4t，OB=1-4t，
根據(jù)余弦定理得：AB=，且0≤t≤0.25，則t=0.25時(shí)，AB最小為
0.25≤t＜0.75 時(shí)，A在O的右邊，則t小時(shí)走的路為4t，OA=3-4t，OB=1+4t，
根據(jù)余弦定理得：，0.25≤t＜0.75，則t=0.25時(shí)，AB最小為．
0.75≤t時(shí)，OA=3+4t，OB=1+4t，
根據(jù)余弦定理得：AB=，且0.75≤t，則t=0.75時(shí)，AB最小為
∴當(dāng)t=小時(shí)，兩人的距離最短，最短距離為 ．
（2）開始OA=3km，OB=1km，∠AOB=60°，
根據(jù)余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=9+1-3=7，
解得：AB=（km）；
又時(shí)，t=小時(shí)
故可知他們兩人在行進(jìn)中能保持通訊的時(shí)間為小時(shí)
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查余弦定理的運(yùn)用，有一定的綜合性．