Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x²+ax+1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），代入xf'（x）≤x²+ax+1，將a分離出來，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值，從而求出參數(shù)a的取值范圍；
（II）根據(jù)（I）可知g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0，然后討論a與1的大小，從而確定（x-1）的符號(hào)，然后判定f（x）與0的大小即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=lnx+

1

x

，
xf'（x）=xlnx+1，
題設(shè)xf'（x）≤x²+ax+1等價(jià)于lnx-x≤a．
令g（x）=lnx-x，則g′(x)=

1

x

-1
 當(dāng)0＜x＜1，g′（x）＞0；
當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值點(diǎn)，
g（x）≤g（1）=-1
 綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x(lnx+

1

x

-1)=lnx-x(ln

1

x

-

1

x

+1)≥0
 所以（x-1）f（x）≥0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用參數(shù)分離法求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．