已知三點(diǎn)O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足|+|=•（+）+2．
（1）求曲線C的方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）（-2＜x＜2）在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l向：是否存在定點(diǎn)P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點(diǎn)分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值．若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】分析：（1）用坐標(biāo)表示 ，，從而可得 +，可求|+|，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合M（x，y）滿足|+|=•（+）+2，可得曲線C的方程；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y=，直線PB的方程是y=
分類(lèi)討論：①當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，l∥PA，不符合題意；②當(dāng)t≤-1時(shí)，，，分別聯(lián)立方程組，解得D，E的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得△QAB與△PDE的面積之比，利用其為常數(shù)，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由 =（-2-x，1-y），=（2-x，1-y）可得 +=（-2x，2-2y），
∴|+|=，•（+）+2=（x，y）•（0，2）+2=2y+2．
由題意可得=2y+2，化簡(jiǎn)可得 x2=4y．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y=，直線PB的方程是y=
∵-2＜x＜2，∴
①當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，，存在x∈（-2，2），使得
∴l(xiāng)∥PA，∴當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，不符合題意；
②當(dāng)t≤-1時(shí)，，，
∴l(xiāng)與直線PA，PB一定相交，分別聯(lián)立方程組
，，解得D，E的橫坐標(biāo)分別是，
∴
∵|FP|=-
∴=
∵
∴=×
∵x∈（-2，2），△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)
∴，解得t=-1，
∴△QAB與△PDE的面積之比是2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查三角形面積的計(jì)算，同時(shí)考查學(xué)生的探究能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三點(diǎn)O（0，0），A（1，0），P（x，y）且設(shè)x≥1，y≠0．
（1）如果選取一點(diǎn)Q，使四邊形OAPQ成為一平行四邊形，則Q的坐標(biāo)是
 

（2）如果還要求AP的中垂線通過(guò)Q點(diǎn)，則x，y的關(guān)系是
 
．
（3）再進(jìn)一步要求四邊形OAPQ是菱形，則x=
 
時(shí)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點(diǎn)O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲線C上任意-點(diǎn)M（x，y）滿足：|
MA
+
MB
|=4-
1
2
OM
•(
OA
+
OB
)．
（l）求曲線C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線L與曲線相交于M，N兩點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN．試探究kPM•kPN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)曲線C與y軸交于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)M （0，m）在線段DE上，點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)．若當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，|
MP
|取得最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江西）已知三點(diǎn)O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足|
MA
+
MB
|=
OM
•（
OA
+
OB
）+2．
（1）求曲線C的方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l向：是否存在定點(diǎn)P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點(diǎn)分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值．若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江西）已知三點(diǎn)O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足|
MA
+
MB
|=
MA
•(
OA
+
OB
)+2
（1）求曲線C的方程；
（2）點(diǎn)Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）是曲線C上動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-1），l與PA，PB分別交于點(diǎn)D，E，求△QAB與△PDE的面積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年江西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知三點(diǎn)O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足||=
（1）求曲線C的方程；
（2）點(diǎn)Q（x，y）（-2＜x＜2）是曲線C上動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-1），l與PA，PB分別交于點(diǎn)D，E，求△QAB與△PDE的面積之比．

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