Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線平行于直線y=-3x-2，試求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：先求出導(dǎo)數(shù)，再由取得極值的條件切線的斜率，列出方程求出a、b的值，代入求出解析式和導(dǎo)數(shù)．再求臨界點(diǎn)和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值．

解答：解：由題意得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=2處有極值，∴f′（2）=12+4a+b=0      ①，
∵在x=1處的切線平行于直線y=-3x-2，
∴f′（1）=3+2a+b=-3                      ②，
由①②解得，a=-3，b=0，∴f（x）=x³-3x²，
由f′（x）=3x²-6x=0得，x=0或2，
當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
即函數(shù)的增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），減區(qū)間是（0，2），
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值為0，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值為f（2）=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系，屬于中檔題．