Question

已知A，B 分別為曲線C：（y≥0，a>0）與x軸的左、右兩個交點，直線l過點B，且與x軸垂直，S為l上異于點B的一點，連結AS交曲線C于點T。

（1）若曲線C為半圓，點T為圓弧的三等分點，試求出點S的坐標；
（2）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在a，使得O，M，S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）當曲線C為半圓時，a=1，由點T為圓弧的三等分點得∠BOT=60°或120°
（i）當∠BOT=60°時，∠SAE=30°
又AB=2
故在△SAE中，有
∴。
（ii）當∠BOT=120°時，同理可求得點S的坐標為，
綜上，或。
（2）假設存在，使得O，M，S三點共線
由于點M在以SB為直線的圓上，故
顯然，直線AS的斜率k存在且k>0，可設直線AS的方程為
由得
設點
∴
故，
從而
亦即
∵
∴
由得，
∴
由，可得
即
∵
∴
經(jīng)檢驗，當時，O，M，S三點共線
故存在，使得O，M，S三點共線。