Question

已知函數(shù)f（x）=

a•ex，x≤0 -lnx，x＞0

，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則a實(shí)數(shù)的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0）
• B、（-∞，0）∪（0，1）
• C、（0，1）
• D、（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若a=0則方程f（f（x））=0有無數(shù)個(gè)實(shí)根，不滿足條件，若a≠0，若f（f（x））=0，可得當(dāng)x≤0時(shí)，a•e^x=1無解，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：若a=0則方程f（f（x））=0有無數(shù)個(gè)實(shí)根，不滿足條件，
若a≠0，若f（f（x））=0，
則f（x）=1，
∵x＞0時(shí)，f（

1

x

）=1，
關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
故當(dāng)x≤0時(shí)，a•e^x=1無解，
即ex=

1

a

在x≤0時(shí)無解，
故

1

a

＜0或

1

a

＞1，
故a∈（-∞，0）∪（0，1），
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中分析出當(dāng)x≤0時(shí)，a•e^x=1無解，是解答的關(guān)鍵．