已知奇函數(shù)f（x）=
x+b
x2+a
的定義域為R，f（1）=
1
2
．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）若g（x）=3-x-f（x），證明函數(shù)g（x）在（-1，1）上有零點．
分析：（1）由于奇函數(shù)f（x）=
x+b
x2+a
的定義域為R，故有f（0）=0，再由f（1）=
1
2
，可得實數(shù)a、b的值．
（2）由（1）可得f（x）=
x
x2+1
，設-1＜x1＜x2＜1，計算f（x2）-f（x1）＜0．可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)．
（3）由于函數(shù)g（x）=3-x-f（x）=3-x-
x
x2+1
，求得g（-1）g（1）=-
7
12
＜0，可得函數(shù) g（x）在（-1，1）上有零點．
解答：解：（1）由于奇函數(shù)f（x）=
x+b
x2+a
的定義域為R，故有f（0）=0，再由f（1）=
1
2
，可得實數(shù)a=1，b=0．
（2）由（1）可得f（x）=
x
x2+1
，設-1＜x1＜x2＜1，則可得f（x2）-f（x1）=
x2
x22+1
-
x1
x12+1
=
(x2-x1)(1-x1•x2)
(x22+1)(x12+1)
．
由題設可得 x2-x1＞0，1-x1•x2＞0，∴
(x2-x1)(1-x1•x2)
(x22+1)(x12+1)
＞0，f（x2）-f（x1）＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)．
（3）由于函數(shù)g（x）=3-x-f（x）=3-x-
x
x2+1
，g（-1）g（1）=（3+
1
2
）（
1
3
-
1
2
）=-
7
12
＜0，
可得函數(shù) g（x）在（-1，1）上有零點．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的零點的判定定理的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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下面四個命題：
①已知函數(shù)f(x)=
x
 ，x≥0 
-x
 ，x＜0 
且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②一組數(shù)據(jù)18，21，19，a，22的平均數(shù)是20，那么這組數(shù)據(jù)的方差是2；
③要得到函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移
π
3
單位；
④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（-1）=0，則不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1}．
其中正確的是
②
②
．

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已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則f（a1）+f（a2）+…+f（a2008）的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+2），當x∈[0，1]時，f（x）=x，若af2（x）+bf（x）+c=0在x∈[0，6]上恰有5個根，且記為xi（i=1，2，3，4，5），則x1+x2+x3+x4+x5=
 
．

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