Question

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= ，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小 ．

Answer 1

解：證明：（I）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，因?yàn)镋F∥AG，且EF=1，AG=AC=1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG．
因?yàn)镋GP平面BDE，AF平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（II）因?yàn)檎�方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，
且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．
如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．
則C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），
E（0，0，1），F(xiàn)（，，1）．
所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．
所以=0﹣1+1=0，=﹣1+0+1=0．
所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一個(gè)法向量，
設(shè)平面ABE的法向量=（x，y，z），則=0，=0．即
所以x=0，且z=y．令y=1，則z=．
所以n=（），從而cos（，）=
因?yàn)槎�面角A﹣BE﹣D為銳角，所以二面角A﹣BE﹣D為．