Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a為常數(shù)）；
（1）如果函數(shù)y=f（x）和y=g（x）有相同的極值點，求a的值；
（2）設a＞0，問是否存在x0∈(-1，

a

3

)，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，請求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）記函數(shù)H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函數(shù)y=H（x）有5個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）求導可得f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），由f'（x）=0，可得得x=a或

a

3

，而g（x）在x=

a-1

2

處有極大值，從而可得a
（2）假設存在，即存在x∈(-1，

a

3

)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(-1，

a

3

)，及a＞0，可得x-a＜0，
則存在x∈(-1，

a

3

)，使得x²+（1-a）x+1＜0，結合二次函數(shù)的性質求解
（3）據(jù)題意有f（x）-1=0有3個不同的實根，g（x）-1=0有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等．g（x）-1=0有2個不同的實根，只需滿足g(

a-1

2

)＞1?a＞1或a＜-3；f（x）-1=0有3個不同的實根，從而結合導數(shù)進行求解

解答：解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，則f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，得x=a或

a

3

，而g（x）在x=

a-1

2

處有極大值，
∴

a-1

2

=a?a=-1，或

a-1

2

=

a

3

?a=3；綜上：a=3或a=-1． （4分）
（2）假設存在，即存在x∈(-1，

a

3

)，使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]=x（x-a）²+（x-a）（x+1）=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
當x∈(-1，

a

3

)時，又a＞0，故x-a＜0，
則存在x∈(-1，

a

3

)，使得x²+（1-a）x+1＜0，（6分）1°當

a-1

2

＞

a

3

即a＞3時，(

a

3

)2+(1-a)(

a

3

)+1＜0得a＞3或a＜-

3

2

，∴a＞3；2°當-1≤

a-1

2

≤

a

3

即0＜a≤3時，

4-(a-1)2

4

＜0得a＜-1或a＞3，∴a無解；
綜上：a＞3．    （9分）
（3）據(jù)題意有f（x）-1=0有3個不同的實根，g（x）-1=0有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等．
（�。ゞ（x）-1=0有2個不同的實根，只需滿足g(

a-1

2

)＞1?a＞1或a＜-3；
（ⅱ）f（x）-1=0有3個不同的實根，1°當

a

3

＞a即a＜0時，f（x）在x=a處取得極大值，而f（a）=0，不符合題意，舍；2°當

a

3

=a即a=0時，不符合題意，舍；3°當

a

3

＜a即a＞0時，f（x）在x=

a

3

處取得極大值，f(

a

3

)＞1?a＞

3 3 2

2

；所以a＞

3 3 2

2

；
因為（�。�（ⅱ）要同時滿足，故a＞

3 3 2

2

；（注：a＞

3

3 4

也對）（12分）
下證：這5個實根兩兩不相等，
即證：不存在x₀使得f（x₀）-1=0和g（x₀）-1=0同時成立；
若存在x₀使得f（x₀）=g（x₀）=1，
由f（x₀）=g（x₀），即x₀（x₀-a）²=-x₀²+（a-1）x₀+a，
得（x₀-a）（x₀²-ax₀+x₀+1）=0，
當x₀=a時，f（x₀）=g（x₀）=0，不符合，舍去；
當x₀≠a時，既有x₀²-ax₀+x₀+1=0①；
又由g（x₀）=1，即-x₀²+（a-1）x₀+a②；
聯(lián)立①②式，可得a=0；
而當a=0時，H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]=（x³-1）（-x²-x-1）=0沒有5個不同的零點，故舍去，所以這5個實根兩兩不相等．
綜上，當a＞

3 3 2

2

時，函數(shù)y=H（x）有5個不同的零點．      （16分）

點評：本題主要考查了導數(shù)在求解極值中的應用，解得本題不但要熟練掌握函數(shù)的導數(shù)的相關的知識，還要具備一定的邏輯推理的能力，此題對考生的能力要求較高．