已知函數(shù)f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x）．對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1、x2，證明：
（Ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)；
（Ⅱ）當(dāng)a≤4時(shí)，|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|．
分析：（1）將x1，x2代入整理，再由基本不等式可證．
（2）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，將x1，x2代入整理變形，轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，有2+
2(x1+x2)
x12x22
-
a
x1x2
＞1恒成立，從而得證．
解答：解：證明：（Ⅰ）由f(x)=x2+
2
x
+alnx
得
f(x1)+f(x2)
2
=
1
2
(x12+x22)+(
1
x1
+
1
x2
)+
a
2
(lnx1+lnx2)=
1
2
(x12+x22)+
x1+x2
x1x2
+aln
x1x2
f(
x1+x2
2
)=(
x1+x2
2
)2+
4
x1+x2
+aln
x1+x2
2

而
1
2
(x12+x22)＞
1
4
[(x12+x22)+2x1x2]2=(
x1+x2
2
)2①
又（x1+x2）2=（x12+x22）+2x1x2＞4x1x2
∴
x1+x2
x1x2
＞
4
x1+x2
②
∵
x1x2
＜
x1+x2
2

∴ln
x1x2
＜ln
x1+x2
2

∵a≤0，
aln
x1x2
?≥aln（
x1+x2
2
③
由①、②、③得
1
2
（x12+x22）+
x1+x2
x1x2
+aln
x1x2
?＞（
x1+x2
2
）2+
4
x1+x2
+aln
x1x2
，
即
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)．
（Ⅱ）證法一：由f(x)=x2+
2
x
+alnx，得f′(x)=2x-
2
x2
+
a
x

∴|f′(x1)-f′(x2)|=|(2x1-
2
x12
+
a
x1
)-(2x2-
2
x22
+
a
x2
)|=|x1-x2|•|2+
2(x1+x2)
x12x22
-
a
x1x2
||f′(x1)-f′(x2)|＞|x1-x2|?|2+
2(x1+x2)
x12x22
-
a
x1x2
|＞1
下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，有2+
2(x1+x2)
x12x22
-
a
x1x2
＞1恒成立
即證a＜x1x2+
2(x1+x2)
x1x2
成立
∵x1x2+
2(x1+x2)
x1x2
＞x1x2+
4
x1x2

設(shè)t=
x1x2
，u(x)=t2+
4
t
(t＞0)，
則u′(x)=2t-
4
t2
，
令u′（x）=0得t=
32
，列表如下：
精英家教網(wǎng)u(t)≥3
34
=
3108
＞4≥a
∴x1x2+
2(x1+x2)
x1x2
＞a
∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，恒有|f'（x1）-f'（x2）|＞|x1-x2|
證法二：由f(x)=x2+
2
x
+alnx，
得f′(x)=2x-
2
x2
+
a
x

∴|f′(x1)-f′(x2)|=|(2x1-
2
x12
+
a
x1
)-(2x2-
2
x22
+
a
x2
)|=|x1-x2|•|2+
2(x1+x2)
x12x22
-
a
x1x2
|
∵x1，x2是兩個(gè)不相等的正數(shù)
∴2+
2(x1+x2)
x12x22
-
a
x1x2
＞2+
4
(
x1x2
)3
-
a
x1x2
≥2+
4
(
x1x2
)3
-
4
x1x2

設(shè)t=
1
x1x2
，u（t）=2+4t3-4t2（t＞0）
則u′（t）=4t（3t-2），列表：
精英家教網(wǎng)
∴u=
38
27
＞1即2+
2(x1+x2)
x12x22
-
a
x1x2
＞1
∴|f′(x1)-f′(x2)|═|x1-x2|•|2+
2(x1+x2)
x12x22
-
a
x1x2
|＞|x1-x2|
即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，恒有|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案