Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
側(cè)棱A₁A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，點D是AB的中點，
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；（2）求證：AC⊥BC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，根據(jù)D是AB的中點，E是BC₁的中點，可知DE∥AC₁，而DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，根據(jù)線面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三邊長AC，BC，AB滿足勾股定理則AC⊥BC，又側(cè)棱垂直于底面ABC，則CC₁⊥AC，又BC∩CC₁=C，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC⊥面BCC₁，又BC₁?平面BCC₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AC⊥BC₁．
解答：解：（1）設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，（1分）
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，
∴DE∥AC₁，（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，（5分）
∴AC₁∥平面CDB₁（6分）

（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，①（7分）
又側(cè)棱垂直于底面ABC，
∴CC₁⊥AC②（8分）
又BC∩CC₁=C③
由①②③得∴AC⊥面BCC₁（10分）
又BC₁?平面BCC₁，∴AC⊥BC₁；（12分）
點評：本題考查直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關(guān)系的判定，同時考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．