Question

設兩非零向量e₁和e₂不共線．
（1）如果

AB

=e₁+e₂，

BC

=2e₁+8e₂，

CD

=3（e₁-e₂），求證：A、B、D三點共線；
（2）試確定實數k，使ke₁+e₂和e₁+ke₂共線；
（3）若|e₁|=2，|e₂|=3，e₁與e₂的夾角為60°，試確定k的值，使ke₁+e₂與e₁+ke₂垂直．

Answer 1

（1）證明：

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=6（e₁+e₂）=6

AB

，
∴

AB

∥

AD

，

AB

與

AD

有公共點A．
∴A、B、D三點共線．
（2）∵ke₁+e₂和e₁+ke₂共線，
∴存在λ使ke₁+e₂=λ（e₁+ke₂），
即（k-λ）e₁+（1-λk）e₂=0．
∵e₁與e₂為非零不共線向量，
∴k-λ=0且1-λk=0．
∴k=±1．

（3）由（ke₁+e₂）•（e₁+ke₂）=0，
k|e₁|²+（k²+1）e₁•e₂+k|e₂|²=0，得
k×2²+（k²+1）×2×3×cos60°+k×3²=0
?4k+3k²+3+9k=0?3k²+13k+3=0，
∴k=

-13± 133

6

．