Question

已知AB和CD是曲線（t為參數(shù)）的兩條相交于點P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|·|PB|=|PC|·
|PD|，
（Ⅰ）將曲線（t為參數(shù)）化為普通方程，并說明它表示什么曲線；
（Ⅱ）試求直線AB的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由y=4t得y²=16t²，而x=4t²，
∴y²=4x，它表示拋物線；
（Ⅱ）設(shè)直線AB和CD的傾斜角分別為α，β，
則直線AB和CD的參數(shù)方程分別為，
把①代入y²=4x中，
得t²sin²α+（4sinα-4cosα）t-4=0，③
依題意知sinα≠0且方程③的判別式Δ=16（sinα-cosα）²+16sin²α＞0，
∴方程③有兩個不相等的實數(shù)解t₁，t₂，
則
由t的幾何意義知|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，
∴|PA|·|PB|=|t₁t₂|=，
同理|PC|·|PD|=，
由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知，即sin²α=sin²β，
∵0≤α，β＜π，
∴α=π-β，
∵AB⊥CD，
∴β=α+90°或α=β+90°，
∴直線AB的傾斜角
∴k_AB=1或k_AB=-1，
故直線AB的方程為y=x或x+y-4=0。