Question

已知定點(diǎn)F（1，0）和定直線x=-1，M，N是定直線x=-1上的兩個動點(diǎn)且滿足，動點(diǎn)P滿足∥，∥（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)
①求的值；
②設(shè)，當(dāng)三角形OAB的面積時，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設(shè)P（x，y），M（-1，y₁），N（-1，y₂）（y₁，y₂均不為0），利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合條件滿足，動點(diǎn)P滿足∥，∥即可求得動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）將C的方程y²=4x（x≠0）與直線l的方程x=my+1聯(lián)立消掉y，利用韋達(dá)定理可求得①的值；
解法一：利用，求得，從而得三角形OAB的面積S=，由S∈[2，]即可求得λ的取值范圍；
解法二：利用，可求得-y₃=λy₄，而y₃y₄=-4，從而，一下同解法一．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），M（-1，y₁），N（-1，y₂）（y₁，y₂均不為0），
由∥得y₁=y，即M（-1，y）（2分）
由∥得，即（2分）
∵
∴，
∴y²=4x（x≠0）
∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）（6分）
（2）①由（1）得P的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0），F(xiàn)（1，0），
設(shè)直線l的方程為x=my+1，將其與C的方程聯(lián)立，消去x得y²-4my-4=0．（8分）
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），則y₃y₄=-4．
∴，（9分）
故．（10分）
②解法一：∵，
∴（1-x₃，-y₃）=λ（x₄-1，y₄），即
又，．
∴可得．（11分）
故三角形OAB的面積，（12分）
因為恒成立，所以只要解．
即可解得．（14分）
解法二：∵，
∴（1-x₃，-y₃）=λ（x₄-1，y₄），
∴-y₃=λy₄，
∴|y₃|=λ|y₄|（注意到λ＞0）
又由①有y₃y₄=-4，
∴，
∴
三角形OAB的面積（以下解法同解法一）
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算與直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，突出考查方程思想與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．