Question

已知g（x）=ln（e^x+b）（b為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)g（x）＞0時(shí)，有f(x)=lng(x)+

a

x

．
（1）求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行整理化簡是解決本體的關(guān)鍵，注意對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用，指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用和變形，以及恒成立問題的處理方法；
（2）利用導(dǎo)數(shù)作為工具求解該函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)該函數(shù)在何處取到最值列出關(guān)于a的方程達(dá)到求解a的目的．

解答：解：（1）∵g（-x）=-g（x）∴l(xiāng)n（e^-x+b）+ln（e^x+b）=0?（e^-x+b）（e^x+b）=1
?（e^-x+e^x）b+b²=0?（e^-x+e^x+b）b=0?b=0．
（2）由（1）知f(x)=lnx+

a

x

（x＞0），則f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

在[1，e]上，討論如下：
①當(dāng)a＜1時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=a＜1，
這與函數(shù)在[1，e]上的最小值是

3

2

相矛盾；
②當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，e]單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=1，同樣與最小值是

3

2

相矛盾；
③當(dāng)1＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，單調(diào)遞減，
在（a，e]上有f''（x）＞0，單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）滿足最小值為f（a）=lna+1
由lna+1=

3

2

，得a=

e

．
④當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，單調(diào)遞減，其最小值為f（e）=2，還與最小值是

3

2

相矛盾；
⑤當(dāng)a＞e時(shí)，顯然函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，其最小值為f(e)=1+

a

e

＞2，
仍與最小值是

3

2

相矛盾；綜上所述，a的值為

e

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，考查學(xué)生運(yùn)用奇偶性定義進(jìn)行未知數(shù)求解的思想和方法．考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)工具作用，考查學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值的思想和方法，考查學(xué)生運(yùn)用分類討論思想和方法解題的能力．