Question

24、已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整數(shù)，求證：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

Answer 1

分析：我們用數(shù)學歸納法進行證明，先證明不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n當n=2時成立，再假設不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n也成立，最后得證不等式．

解答：證明：下面用數(shù)學歸納法證明
（1）n=2時，|sin（α₁+α₂）|-|sinα₁cosα₂+cosα₁sinα₂|≤sinα₁|cosα₂|+|cosα₁|•|sinα₂|＜sinα₁+sinα₂，
所以n=2時成立．
（2）假設n=k（k≥2）時成立，即
|sin（α₁+α₂+Λ+α_k）|＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k
當n=k+1時，|sin（α₁+α₂+Λ+α_k+1）|=
=|sinα_k+1cos（α₁+Λα_k）+cosα_k+1sin（α₁+Λα_k）|
≤sinα_k+1|cos（α₁+Λ+α_k）|+|cosα_k+1|•|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα_k+1+|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k+1
∴n=k+1時也成立．
由（1）（2）得，原式成立．

點評：數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立（由于本題要求n為大于1的整數(shù)，故本題第一步為n=2時）；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．