Question

已知命題p：f^-1（x）是f（x）=1-3x的反函數，且|f^-1（a）|＜2；命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=Ф．
（Ⅰ）解不等式|f^-1（a）|＜2
（Ⅱ）求使命題p，q中有且只有一個真命題時實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：本題是以命題及其關系為載體，部分考查反函數的問題，
對于（Ⅰ）首先求出f（x）=1-3x的反函數f^-1（x），然后建立不等式|f^-1（a）|＜2即可求得a的范圍，
對于（Ⅱ）要考慮集合A=∅和集合 A≠∅兩種情況分別求出a的范圍，然后取并集可得a的范圍，
對于p，q中有且只有一個真命題要注意p真q假和p假q真兩種情況．
解答：解：（Ⅰ）由y=1-3x可得f^-1（x）=…（2分）
又由…（3分）
解得：p：-5＜a＜7…（4分）
（Ⅱ）當△=（a+2）²-4=a（a+4）＜0即-4＜a＜0時，A=Ф，
此時A∩B=Ф…（5分）
又當△=a（a+4）≥0即a≤-4或a≥0時A∩B=Ф…（6分）
解得：a≥0
∴q：a＞-4…（8分）
（1）當
∴-5＜a≤-4…（9分）
（2）當…（10分）
∴當a∈（-5，-4]∪[7，+∞）時，p，q中有且只有一個為真命題…（12分）
點評：本題綜合性較強，過程多，是易錯題，有兩點值得引起注意，其一滿足A∩B=Ф要考慮A=φ，A≠φ兩種情況；
其二對于“p，q中有且只有一個真命題”也要注意p真q假和p假q真兩種情況．