Question

已知函數f（x）滿足：對任意的實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0．
（1）證明：函數f（x）在R上單調遞增；
（2）若f(3m)＜f(3

3

)，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數單調性的定義，作差，利用所給恒等式進行變形，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進而證明出f（x）的單調性；
（2）根據函數的單調性，去掉“f”，列出關于m的不等式，解之即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在R上單調遞增． 
（2）由（1）知，函數f（x）在R上單調遞增，
∵f(3m)＜f(3

3

)，
∴3m＜3

3

，即3m＜3

3

2

，解得m＜

3

2

，
∴實數m的取值范圍為(-∞，

3

2

)．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，同時考查了利用定義證明函數的單調性以及應用單調性解不等式．對于定義法證明函數的單調性，關鍵是判斷出作差的正負，本題的關鍵就是如何構造作差，使得其能判斷符號．屬于中檔題．