分析 (Ⅰ)由等差中項,列出Sn與an的關(guān)系式,根據(jù)${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1},n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1},n≥2}\end{array}\right.$求解出數(shù)列{an}的通項公式.
(Ⅱ)數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的結(jié)構(gòu)分析,采用裂項相消求數(shù)列前n項和Tn,結(jié)合數(shù)列單調(diào)性及簡單的放縮法,求得范圍.
解答 解:(Ⅰ)n=1時,a1=1--------(1分)
n≥2時,由$\sqrt{{S}_{n}}$是1與an的等差中項,
∴$4{S}_{n-1}=({a}_{n-1}+1)^{2}$,
又$4{S}_{n}=({a}_{n}+1)^{2}$,
兩式相減得(an+an-1)(an-an-1-2)=0
∵an>0
∴an-an-1=2
∴{an}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,即an=2n-1.--------(6分)
(Ⅱ)∵$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$
∴Tn=$(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+$$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
=$1-\frac{1}{2n+1}$.------10
∵n∈N+
∴Tn<1
又∵Tn遞增.
∴${T}_{n}≥{T}_{1}=\frac{2}{3}$,
綜上,$\frac{2}{3}≤{T}_{n}<1$成立.--------(12分)
點評 考查等差中項,前n項和與通項的關(guān)系,裂項相消法求前n項和,放縮法求范圍,屬于中檔題.
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A. | -2017 | B. | -2016 | C. | -2015 | D. | -2014 |
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A. | 1-2i | B. | 1+2i | C. | i-1 | D. | 1-i |
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A. | {2} | B. | {1,2} | C. | {1,2,4} | D. | {1,4} |
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