Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，若函數(shù)y=f（x）-x-a在[0，2]內(nèi)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$-\frac{1}{4}＜a＜0$．

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1），知函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，函數(shù)y=f（x）-x-a在[0，2]內(nèi)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，就是函數(shù)y=f（x）與直線l：y=x+a在[0，2]內(nèi)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得
y=x+a與y=x²相切時(shí)的a的值，即可得到答案．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，
∴當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=x²，
若函數(shù)y=f（x）-x-a在[0，2]內(nèi)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，就是函數(shù)y=f（x）與直線l：y=x+a在[0，2]內(nèi)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
作圖如下：

由圖可知，當(dāng)直線l：y=x+a過(guò)原點(diǎn)與（1，1）（就是直線l₁）時(shí)，l與y=x²有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)a=0；
當(dāng)l與y=x²相切時(shí)與函數(shù)y=f（x）表示的曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)（如圖中直線l₂），由y′=2x=1，知x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{4}$，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入y=x+a得：a=-$\frac{1}{4}$．
當(dāng)l在直線l₁與l₂之間時(shí)，y=f（x）表示的曲線與l有三個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)-$\frac{1}{4}$＜a＜0，
故答案為：$-\frac{1}{4}＜a＜0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在與零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，著重考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，作圖是關(guān)鍵，屬于難題．