Question

如圖，四邊形ABCD的頂點都在橢圓上，對角線AC、BD互相垂直且平分于原點O．
（I）若點A在第一象限，直線AB的斜率為1，求直線AB的方程；
（II）求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=x+b．因為四邊形ABCD的頂點都在橢圓上，所以，△=16b²-12（2b²-6）=8（9-b²）＞0，再由韋達定理結合題設條件能求出直線AB的方程．
（II）①若直線AB⊥x軸，設其方程為x=x，此時易知直線AC、BD的方程分別為y=x，y=-x，且四邊形ABCD是正方形，由此能求出四邊形ABCD的面積S=（2x）²=4x²=8．
②若直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，所以（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0，由此能夠推導出S_min=8．綜上所述，四邊形ABCD面積的最小值為8．
解答：（Ⅰ）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=x+b…（1分）
∵四邊形ABCD的頂點都在橢圓上
∴，
∴x²+2（x+b）²=6，
即3x²+4bx+2b²-6=0
則△=16b²-12（2b²-6）=8（9-b²）＞0…（2分）
，…（3分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=，
又OA⊥OB，所以…（4分）
∴
∴b²=4，b=±2…（5分）
∵A點在第一象限，
∴b=-2．
所以直線AB的方程為y=x-2…（6分）
（II）①若直線AB⊥x軸，設其方程為x=x，
此時易知直線AC、BD的方程分別為y=x，y=-x，
且四邊形ABCD是正方形，
則A（x，x），B（x，-x），，x²=2，
四邊形ABCD的面積S=（2x）²=4x²=8…（8分）
②若直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
，
∴x²+2（kx+m）²=6，
即（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0…（9分）
則△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-6）
=8[2k²m²-（2k²m²+m²-6k²-3）]
=8（6k²+3-m²）＞0，
，…（10分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=
又OA⊥OB，所以
∴m²=2k²+2…（11分）
所以
=
直角三角形OAB斜邊AB上的高
所以
=≥2，…（13分）
當且僅當k=0時取得此最小值，此時S_min=8…（14分）
綜上所述，四邊形ABCD面積的最小值為8．
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．本題對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．