Question

（文）已知定義在N^*上的函數(shù)f（x），對(duì)任意正整數(shù)n₁、n₂，都有f（n₁+n₂）=1+f（n₁）+f（n₂），且f（1）=1．
（1）若對(duì)任意正整數(shù)n，有a_n=f（2ⁿ）+1，求a₁、a₂的值，并證明{a_n}為等比數(shù)列；
（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，f（n）使得不等式

f(n)

2n

＜

3

8

log₂（x+1）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件求出a_n=f（2ⁿ）+1的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義即可證明{a_n}為等比數(shù)列；
（2）構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列的特點(diǎn)判斷數(shù)列的單調(diào)性，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）令n₁=n₂=1，得f（2）=1+f（1）+f（1），
則f（2）=3，a₁=f（2）+1=4…1分
令n₁=n₂=2，得f（4）=1+f（2）+f（2），則f（4）=7，a₂=f（4）+1=8…2分
令n1=n2=2n，得f（2ⁿ+2ⁿ）=1+f（2ⁿ）+f（2ⁿ），
即f（2ⁿ⁺¹）=1+2f（2ⁿ），…4分
則f（2ⁿ⁺¹）+1=2[1+f（2ⁿ）]，a_n+1=2a_n
所以，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=2，首項(xiàng)a₁=4．…6分
（2）令n₁=n，n₂=1，得f（n+1）=1+f（1）+f（n），即f（n+1）=f（n）+2
則{f（n）}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)f（1）=1．
故f（n）=1+（n-1）•2=2n-1．…8分
設(shè)g(n)=

f(n)

2n

=

2n-1

2n

，則g(n+1)-g(n)=

2n+1

2n+1

-

2n-1

2n

=

3-2n

2n+1

當(dāng)n=1時(shí)，g（n+1）-g（n）＞0，即g（2）＞g（1）
當(dāng)n≥2時(shí)，g（n+1）-g（n）＜0，即n≥2時(shí)，{g（n）}是遞減數(shù)列．
所以，gmax=g(2)=

3

4

…11分
從而

3

8

log2(x+1)＞

3

4

，即log₂（x+1）＞2…12分
則

x+1＞0 x+1＞4

，解得x∈（3，+∞）．…14分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，以及利用數(shù)列求不等式恒成立問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．