設(shè)f(x)是定義在區(qū)間D上的函數(shù),若對任何實(shí)數(shù)α∈(0,1)以及D中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f1(x)=x2,f2=
1x
(x<0)
是否為各自定義域上的C函數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)已知f(x)是R上的C函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)an=fn,n=0,1,2,…,m,且a0=0,am=2m.記Sf=a1+a2+…+am對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值;
(Ⅲ)若g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù),且最小正周期為T,試證明g(x)不是R上的C函數(shù).
分析:(Ⅰ)f1(x)=x2是C函數(shù),直接找f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2),推出其小于等于0即可; f2(x)=
1
x
(x<0)
不是C函數(shù),采用舉反例的方法即可,x1=-3,x2=-1,α=
1
2

(Ⅱ)先根據(jù)定義求出an=f(n)的范圍,再結(jié)合定義即可求出Sf的最大值即可.
 (Ⅲ)假設(shè)g(x)是R上的C函數(shù).若存在m<n且m,n∈[0,T]使得g(m)≠g(n).分g(m)<g(n),g(m)>g(n),利用反證法,可以證明g(x)不是R上的C函數(shù).
解答:解:(Ⅰ):f1(x)=x2是C函數(shù),證明如下:
對任意實(shí)數(shù)x1,x2及α∈(0,1),
有f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=(αx1+(1-α)x22-αx12-(1-α)x22=-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2=-α(1-α)(x1-x22≤0.
即f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2).
∴f1(x)=x2是C函數(shù).
f2(x)=
1
x
(x<0)
不是C函數(shù),證明如下:
取x1=-3,x2=-1,α=
1
2
,
則f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=f(-2)-
1
2
f(-3)-
1
2
f(-1)=-
1
2
+
1
6
+
1
2
>0

即f(αx1+(1-α)x2)>αf(x1)+(1-α)f(x2).
f2(x)=
1
x
(x<0)
不是C函數(shù).
(Ⅱ)對任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m
∈[0,1]

∵f(x)是R上的下凸函數(shù),an=f(n),且a0=0,am=2m
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
n
m
×2m=2n

那么Sf=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可證f(x)=2x是C函數(shù),且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此時(shí)Sf=m2+m.
綜上所述,Sf的最大值為m2+m.
(Ⅲ)假設(shè)g(x)是R上的C函數(shù).
若存在m<n且m,n∈[0,T]使得g(m)≠g(n).
若g(m)<g(n),記x1=m,x2=m+T,α=1-
n-m
T
,則0<α<1,且n=αx1+(1-α)x2
那么g(n)=g[αx1+(1-α)x2]≤αg(x1)+(1-α)g(x2)=g(m)
這與g(m)<g(n)矛盾.
若g(m)>g(n),
x1=n,x2=n-T,α=1-
n-m
T
也可得到矛盾.
∴g(x)在[0,T]上是常數(shù)函數(shù),又因?yàn)間(x)是周期為T的函數(shù),所以g(x)在R上是常數(shù)函數(shù),這與g(x)的最小正周期為T矛盾.
所以g(x)不是R上的C函數(shù). (14分)
點(diǎn)評:本題主要是在新定義下考查恒成立問題.恒成立問題一般有兩種情況,一是f(x)>a恒成立,只須比f(x)的最小值小即可,二是f(x)<a恒成立,只須比f(x)的最大值大即可.
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1
2
)x-1
,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是( 。

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(1)設(shè)函數(shù)f(x)=Inx+
b+2x+1
(x>1)
,其中b為實(shí)數(shù).
(i)求證:函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b);
(ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,設(shè)m為實(shí)數(shù),a=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且a>1,β>1,若|g(a)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m取值范圍.

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π
2
時(shí),(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數(shù)y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
6
6

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1
2
(1-x)
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y=log
1
2
(x-1)
y=log
1
2
(x-1)

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A

B

C

D

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