Question

已知函數f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x（x∈R）．
（I）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（II）求函數f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和的正弦函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，直接求函數f（x）的最小正周期，利用正弦函數的單調性求出函數的單調遞增區(qū)間；
（II）通過[-

π

6

，

π

6

]求出-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，即可求出函數的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)（3分）
∴函數f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)（6分）
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．（7分）
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

6

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，（8分）
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（11分）
∴函數f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上的最大值為1和最小值為-

1

2

．（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，再注意基本函數的基本性質是解題的關鍵．