Question

如圖，一個水輪的半徑為4m，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉動5圈，如果當水輪上點P從水中浮現時（圖中點p₀）開始計算時間．
（1）將點p距離水面的高度z（m）表示為時間t（s）的函數；
（2）點p第一次到達最高點大約需要多少時間？

Answer 1

分析：（1）先根據z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，當x=0時，z=0，進而求得φ的值，則函數的表達式可得；
（2）令最大值為6，即 z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2=6可求得時間．

解答：解：（1）依題意可知z的最大值為6，最小為-2，
∴

A+B=6 -A+B=-2

⇒

A=4 B=2

；
∵op每秒鐘內所轉過的角為(

5×2π

60

)=

π

6

t，得z=4sin(

π

6

t+φ)+2，
當t=0時，z=0，得sinφ=-

1

2

，即φ=-

π

6

，故所求的函數關系式為
z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2
（2）令z=4sin(

π

6

t-

π

6

)+2=6，得sin(

π

6

t-

π

6

)=1，
取

π

6

t-

π

6

=

π

2

，得t=4，
故點P第一次到達最高點大約需要4S．

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型的問題．考查了運用三角函數的最值，周期等問題確定函數的解析式．