Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|．下列四個不等關(guān)系：
f(sin

π

6

)＜f(cos

π

6

)；
f（sin1）＞f（cos1）；
f(cos

2π

3

)＜f(sin

2π

3

)；
f（cos2）＞f（sin2）．
其中正確的個數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：利用已知條件可先畫出函數(shù)的圖象，0＜sin

π

6

＜cos

π

6

＜1，1＞sin1＞cos1＞0，-1＜cos2＜0＜sin2，0＜|cos2|＜sin2＜1，|cos

2π

3

|＜sin

2π

3

，及函數(shù)為偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象在對應(yīng)區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性可分別進行判斷進行判斷

解答：解：∵f（x）=f（x+2），∴函數(shù)的周期T=2
由x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|可得函數(shù)的圖象如下圖，
結(jié)合圖象可知函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱
∵0＜sin

π

6

＜cos

π

6

＜1，1＞sin1＞cos1＞0，f(cos

2π

3

)=f(-

1

2

)=f(

1

2

)，f(sin

2π

3

)=f(

3

2

)，
∵f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，故可得，f(sin

π

6

)＞f(cos

π

6

)，
f（sin1）＜f（cos1），f(

1

2

)＞f(

3

2

)即f(cos

2π

3

)＞f(sin

2π

3

)
∵-1＜cos2＜0＜sin2，∴0＜|cos2|＜sin2＜1
∴f（cos2）=f（|cos2|）＞f（sin2）
故答案為：1

點評：本題主要考查了函數(shù)的周期性與函數(shù)的對稱性及函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)解析式，做出函數(shù)的圖象，進而研究函數(shù)的單調(diào)性，比較函數(shù)式的大小．考查了由函數(shù)的性質(zhì)做函數(shù)圖象的能力．，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的應(yīng)用．