Question

（1）A、B、C為斜三角形ABC的三個內(nèi)角，tanA+tanB+1=tanAtanB．求角C；
（2）若tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ，求α，β，γ之間的一個等量關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得C=π-（A+B），利用誘導(dǎo)公式tan（π-α）=-tanα及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，將已知的等式代入求出tanC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）把已知的等式變形，表示出tanα+tanβ，等式兩邊同時除以1-tanαtanβ，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及正切函數(shù)為奇函數(shù)化簡后，即可得到α，β，γ之間的一個等量關(guān)系式．

解答：解：（1）∵tanA+tanB=-（1-tanAtanB），
∴tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=1，
又∵0＜C＜π，∴C=

π

4

；
（2）tanα+tanβ=-tanγ（1-tanα•tanβ），
∴-tanγ=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=tan(α+β)，
∴tan（-γ）=tan（α+β），
則-γ=α+β+kπ，k∈Z，即α+β+γ=kπ（k∈Z的任何一個等式 ）．

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，正切函數(shù)的奇偶性，以及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．